Table of contents for Finite von Neumann algebras and masas / Allan M. Sinclair, Roger R. Smith.

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Contents
Preface i
0 GENERAL INTRODUCTION 1
0.1 Synopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Masas in B(H) 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Standard theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Masas in type In algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Finite von Neumann algebras 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Finite Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Examples of masas from groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Tensor products and crossed products . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Diffuse Abelian Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Group von Neumann algebras revisited . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Hyperfiniteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 The Basic Construction 52
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 The Trace on hN, eBi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 The Pull¿Down Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Projections and partial isometries 80
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Comparison of two projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Approximations of projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Commutants of compressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Basic lemmas for Kadison¿s results . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Range of the centre-valued trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Normalisers, orthogonality, and distances 98
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Normalisers of masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Orthogonality of von Neumann subalgebras . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Distances between subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 The Puk´anszky invariant 113
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 The algebras A, A, A0 and N(A)00 interact . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Properties of the Puk´anszky invariant . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 The Puk´anszky invariant in group factors . . . . . . . . . . . . . 123
6.5 Examples of the Puk´anszky invariant . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.6 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Operators in L1[0, 1]
B(H) 137
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Matrix computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8 Perturbations 148
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Averaging eB over A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 Perturbing subalgebras in the uniform norm . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Lemmas on close subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.5 Distances and groupoid normalisers . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.6 Numerical constants for perturbations . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.7 Perturbations of masas by averaging . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9 General Perturbations 186
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2 The Jones Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3 Containment of finite algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4 Close von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10 Singular Masas 199
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.2 Basic lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.3 Singular to WAHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4 A basis condition for singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.5 Enumeration of words in F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.6 The Laplacian masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11 Existence of special masas 224
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.2 Approximations in subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.3 Constructing semiregular masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.4 Constructing singular masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.5 Singularity and automorphims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12 Irreducible hyperfinite subfactors 243
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.2 Irreducible hyperfinite subfactors exist . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.3 Cartan masas in hyperfinite subfactors . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.4 Property ?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.5 Irreducible hyperfinites in ?? factors . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13 Maximal injective subalgebras 258
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.2 Maximal injectivity and masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.3 Maximal injectivity of subfactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14 Masas in non-separable factors 269
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2 Masas in N! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.3 Masas in L(FS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
15 Singly generated II1 factors 279
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
15.2 Notation and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
15.3 Examples and basic lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.4 The scaling formula for G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
15.5 Interpolated free group factors and G . . . . . . . . . . . . . . . . 297
15.6 Single generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.7 Main technical lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
15.8 Examples of singly generated II1 factors . . . . . . . . . . . . . . 312
A The ultrapower and property ?? 317
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.2 Ultrafilters and characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
A.3 Maximal quotients of finite algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.4 The algebra N!
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
A.5 The ultrapower N! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.6 Relative commutants in N! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.7 Property ?? revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
B Unbounded operators 343
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
B.2 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
B.3 The functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B.4 Operators from L2(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
B.5 Operators from L1(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
C The trace revisited 374
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
C.2 Preliminary lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
C.3 Construction of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Index of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Library of Congress Subject Headings for this publication:

Von Neumann algebras.