Table of contents for Electric energy systems : analysis and operation / editors, Antonio Gãaomez-Expãaosito, Antonio J. Conejo, Claudio Caèanizares.

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Contents
1 Electric Energy Systems. An Overview 1
1.1 A ¯rst vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 The energy challenges in modern times . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Characteristics of electricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Electrical energy systems: the biggest industrial system created by
mankind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Environmental impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 The technological environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Electric power system structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.5 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.6 Control and protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 The economic environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 The electric sector and economic activity . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2 Expansion and operation in the traditional context . . . . . . . . . . 34
1.3.3 Expansion and operation in the new regulatory context . . . . . . . 38
1.4 The regulatory environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.1 Traditional regulation and regulation of competitive markets . . . . 41
1.4.2 New regulatory environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.3 Nature of Electric Activities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.4 Practical aspects of regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.5 The trends in regulation: international experiences . . . . . . . . . . 57
1.5 Modeling requirements of modern electric energy systems . . . . . . . . . . 59
1.6 Future challenges and prospects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Steady-State Models of Power System Components 65
2.1 Modeling electrical networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Per unit values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.2 Choosing and changing the base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vii
2.3 Transmission lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Electrical parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.3 Sinusoidal steady-state line models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.4 Electrical behavior of transmission lines . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Power transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.1 Single-phase transformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.2 Three-phase transformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.3 Three-Winding Transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4.4 Regulating transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5 The Synchronous Machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 Round-rotor synchronous machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.2 Working conditions of the synchronous machine . . . . . . . . . . . . 102
2.5.3 Salient-pole rotor synchronous generator . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6 The induction machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.7 Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.1 Steady state models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.7.2 Functional models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.7.3 Predictive models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3 Load Flow 117
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 Network modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4 Simple iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.1 Gauss-Seidel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.2 Impedance matrix methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5 Newton-Raphson method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5.1 Polar formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5.2 Rectangular formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6 Fast decoupled load °ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7 Inclusion of regulating devices and associated limits . . . . . . . . . . . . . 135
3.7.1 Shunt compensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.7.2 Regulating transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.7.3 Series compensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.7.4 Area interchanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8 Special-purpose load °ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8.1 DC load °ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8.2 Radial distribution networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.9 Large-scale systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
viii
4 State Estimation 155
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.3 Network and measurement model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4 Solution through the Normal Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5 Fast decoupled estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6 Observability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6.1 Numerical Observability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6.2 Topological Observability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.7 Alternative solution techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.7.1 Orthogonal factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.7.2 Equality-constrained solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.7.3 Hachtel's matrix-based solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.8 Bad data detection and identi¯cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.8.1 Properties of measurement residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.8.2 Classi¯cation of measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.8.3 Detecting bad data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.8.4 Identifying bad data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.9 Non-quadratic state estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.10 Topology and parameter errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.10.1 Parameter estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.10.2 Transformer tap estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.10.3 Topology errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5 Economics of Electricity Generation 201
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2 Economic Dispatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2.1 Classic Economic Dispatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.2 Basic Economic Dispatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.3 Economic Dispatch with elastic demand . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2.4 Economic Dispatch with generation limits . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2.5 Economic Dispatch with losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2.6 Network constrained Economic Dispatch . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2.7 Optimal Power Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.3 Unit Commitment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.4 Electricity market operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.4.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.4.2 Centralized dispatch vs. market operation . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5 Market-clearing procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.5.1 Single-period auction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.5.2 Multi-period auction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.5.3 Transmission-constrained multi-period auction . . . . . . . . . . . . 236
5.5.4 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.6 Producer self-scheduling and o®er strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
ix
5.6.1 Price-taker producer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.6.2 Price-maker producer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6.3 O®er strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.7 Consumer and retailer viewpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6 Optimal and Secure Operation of Transmission Systems 253
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.2 Power system states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.3 Security assessment: contingency analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.3.1 Contingency analysis based on distribution factors . . . . . . . . . . 259
6.3.2 Contingency analysis based on load °ows . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4 Optimal Power Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5 Transmission system operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.5.1 Emergency state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.5.2 Alert state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.5.3 Secure state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.6 Transmission network open access . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.6.1 Congestion Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.6.2 Transmission Tari®s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.6.3 Transmission Rights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.6.4 Transmission Real-Power Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.6.5 Ancillary Services . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7 Three-Phase Models of Power System Components 315
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7.2 Unbalanced networks: Symmetrical components . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.2.1 Sequence networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.2.2 Complex power in sequence components . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.3 Transmission lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.3.1 Geometric impedances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.3.2 Shunt admittances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.3.3 Ground return impedances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.3.4 Internal impedances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.3.5 Ground wires reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.3.6 Bundle conductors reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7.3.7 Double circuit transmission lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.3.8 Long line e®ects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.3.9 Symmetrical components and sequence domain parameters . . . . . 332
7.4 Transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.4.1 Three-phase modelling of two-winding transformers . . . . . . . . . 334
7.4.2 Sequence grids of transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.4.3 Transformer non-linearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.5 Synchronous machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
x
7.6 Power system loads and ¯lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.6.1 Harmonic ¯lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.7 Power electronic converters and controllers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.7.1 Conventional converters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.7.2 PWM converters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8 Fault Analysis and Protection Systems 361
8.1 Purpose and assumptions of fault analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.2 Modeling of components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.3 The sequence matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.4 Solid faults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4.1 Solid three phase faults (3Á) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.4.2 Single line to ground faults (SLG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.4.3 Line to line (LL) and double line to ground faults (2LG) . . . . . . . 382
8.4.4 Pre-existing conditions and other adjustments . . . . . . . . . . . . . 383
8.5 Generalized Thevenin equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.5.1 Phase domain fault analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.5.2 Application: faults through impedances . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.5.3 Application: fault along a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.6 Need for a protection system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8.7 Fundamentals of fault protection systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
8.7.1 Functional features of a protection system . . . . . . . . . . . . . . . 392
8.7.2 Structure of a protection system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.7.3 Elements of a protection device . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.7.4 Protective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.8 Overcurrent protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8.8.1 Radial networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.8.2 Meshed networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.9 Distance protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.10 Di®erential protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
8.10.1 Transformer di®erential protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
8.10.2 Busbar di®erential protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
8.11 Other protection relays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
8.12 Evolution of protection relays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
9 Frequency and Voltage Control 425
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
9.1.1 Requirements in di®erent systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
9.1.2 Control as ancillary service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.2 Control in Power Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
9.3 Frequency control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.3.2 Primary Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.3.3 Intertie and Frequency Secondary Control . . . . . . . . . . . . . . . 447
xi
9.4 Voltage Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
9.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
9.4.2 Primary Voltage Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.4.3 Secondary Voltage Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
10 Angle, Voltage and Frequency Stability 481
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.1.1 Angle Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.1.2 Voltage Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
10.1.3 Frequency Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
10.1.4 System Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
10.1.5 Transmission Congestion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.2 Angle Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
10.2.1 Large-disturbance Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
10.2.2 Small-disturbance Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
10.2.3 Countermeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
10.2.4 Real System Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
10.3 Voltage Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.3.1 Voltage Collapse and Maximum Loadability . . . . . . . . . . . . . . 529
10.3.2 Analysis Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
10.3.3 Countermeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
10.3.4 Real System Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
10.4 Frequency Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11 Three-Phase Power Flow and Harmonic Analysis 555
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
11.2 Three-phase Power Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
11.2.1 The need for three-phase power °ow studies . . . . . . . . . . . . . . 556
11.2.2 Bus constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
11.2.3 Newton-Rhapson solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
11.2.4 Constant power components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
11.2.5 Reactive power limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
11.2.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
11.3 Fundamentals of Power System Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
11.3.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.3.2 Electric Quantities Under Harmonic Conditions . . . . . . . . . . . . 578
11.3.3 Indices to Characterize Power System Harmonics . . . . . . . . . . . 580
11.3.4 Characteristics of Power System Harmonics . . . . . . . . . . . . . . 582
11.3.5 Network Responses to Harmonic Excitations . . . . . . . . . . . . . 583
11.4 Power System Harmonic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
11.4.1 Component Models for Harmonic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 586
11.4.2 Network Frequency Response Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
11.4.3 Harmonic Power Flow Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
xii
12 Electromagnetic Transients Analysis 613
12.1 Transients in power systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
12.2 Power system components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
12.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
12.2.2 Modeling for transient analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
12.2.3 Basic circuit elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
12.3 Analysis of switching transients in linear systems . . . . . . . . . . . . . . . 617
12.4 Wave propagation in power systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.4.2 Solution of the single-phase lossless line equations . . . . . . . . . . 622
12.4.3 Wave propagation and re°ection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
12.4.4 The lattice diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
12.5 Techniques for electromagnetic transients analysis . . . . . . . . . . . . . . 632
12.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
12.5.2 Analytical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
12.5.3 Numerical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
12.6 Overvoltages in power systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
12.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
12.6.2 Case studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
12.7 Multiphase transmission lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
12.7.2 Electrical parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
12.7.3 Transmission line equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
12.7.4 Multiphase line models in the EMTP . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
A Solution of Linear Equation Systems 697
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.1.1 Gaussian elimination and LU factorization . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.2 Factorization tree and sparse vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
A.3 Sparse Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
A.4 Modi¯cation of the coe±cient matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
A.4.1 Partial refactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
A.4.2 Factor update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
A.5 Reductions and equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
A.5.1 Large equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
A.5.2 Adaptive reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
A.5.3 Small equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
A.6 Compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
A.7 QR factorization and Givens rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
B Mathematical Programming 719
B.1 Linear programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
B.1.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
B.1.2 The Simplex mechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
xiii
B.1.3 Sensitivity and duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
B.2 Mixed-integer linear programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
B.2.1 Branch and bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
B.3 Nonlinear programming. Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 729
B.3.1 Unconstrained problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
B.3.2 Constrained problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
B.4 Unconstrained problems. Solution methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
B.4.1 Steepest-descent method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
B.4.2 Newton and Quasi-Newton methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
B.4.3 Conjugate directions methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
B.4.4 Coordinate descent method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
B.5 Constrained problems. Solution methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
B.5.1 Penalty and barrier methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
B.5.2 Augmented Lagrangian methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
B.5.3 Primal-dual interior point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
C Dynamic Models of Electric Machines 751
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
C.2 Rotor Dynamics Model of Electric Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
C.3 Dynamic Models of Induction Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753
C.3.1 Equations in Phase Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753
C.3.2 Equations in Complex Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
C.3.3 Electromagnetic Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
C.3.4 Model for Power System Stability Studies . . . . . . . . . . . . . . . 757
C.4 Dynamic Models of Synchronous Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
C.4.1 Equations in D- and Q-axis Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
C.4.2 Electromagnetic Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
C.4.3 Rotor angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
C.4.4 Model for Power System Stability Studies . . . . . . . . . . . . . . . 762
C.5 Synchronous Machine Simpli¯ed Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
C.5.1 Subtransient Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
C.5.2 Transient Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
xiv

Library of Congress Subject Headings for this publication:

Electric power systems.