Table of contents for Noncommutative geometry and Cayley-smooth orders / Lieven Le Bruyn.

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Counter
 
Contents
0 Introduction 3
0.1 Noncommutative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Noncommutative geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.3 Noncommutative desingularizations . . . . . . . . . . . . . . 38
1 Cayley-Hamilton Algebras 51
1.1 Conjugacy classes of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 Simultaneous conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Matrix invariants and necklaces . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4 The trace algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5 The symmetric group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.6 Necklace relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.7 Trace relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.8 Cayley-Hamilton algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Reconstructing Algebras 105
2.1 Representation schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2 Some algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3 The Hilbert criterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Semisimple modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5 Some invariant theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.6 Geometric reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.7 The Gerstenhaber-Hesselink theorem . . . . . . . . . . . . . 139
2.8 The real moment map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Etale Technology 159
3.1 Etale topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2 Central simple algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.3 Spectral sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4 Tsen and Tate fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.5 Coniveau spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.6 The Artin-Mumford exact sequence . . . . . . . . . . . . . . 186
3.7 Normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.8 Knop-Luna slices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3
4
4 Quiver Technology 213
4.1 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.2 Local structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3 Quiver orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.4 Simple roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.5 Indecomposable roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.6 Canonical decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.7 General subrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8 Semistable representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5 Semi-Simple Representations 291
5.1 Representation types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.2 Cayley-smooth locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.3 Reduction steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.4 Curves and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.5 Complex moment map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.6 Preprojective algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.7 Central smooth locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.8 Central singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6 Nilpotent Representations 365
6.1 Cornering matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.2 Optimal corners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.3 Hesselink stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.4 Cornering quiver representations . . . . . . . . . . . . . . . . 385
6.5 Simultaneous conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.6 Representation fibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.7 Brauer-Severi varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.8 Brauer-Severi fibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7 Noncommutative Manifolds 427
7.1 Formal structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
7.2 Semi invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7.3 Universal localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
7.4 Compact manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
7.5 Differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
7.6 deRham cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.7 Symplectic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.8 Necklace Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8 Moduli Spaces 501
8.1 Moment maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
8.2 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.3 Deformed preprojective algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 514
8.4 Hilbert schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
5
8.5 Hyper K¿ahler structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
8.6 Calogero particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
8.7 Coadjoint orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
8.8 Adelic Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
References 555

Library of Congress Subject Headings for this publication:

Noncommutative differential geometry.
Cayley-Hamilton theorem.