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Contents 0 Introduction 3 0.1 Noncommutative algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Noncommutative geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.3 Noncommutative desingularizations . . . . . . . . . . . . . . 38 1 Cayley-Hamilton Algebras 51 1.1 Conjugacy classes of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.2 Simultaneous conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3 Matrix invariants and necklaces . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.4 The trace algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5 The symmetric group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.6 Necklace relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.7 Trace relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.8 Cayley-Hamilton algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2 Reconstructing Algebras 105 2.1 Representation schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.2 Some algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3 The Hilbert criterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.4 Semisimple modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.5 Some invariant theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.6 Geometric reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.7 The Gerstenhaber-Hesselink theorem . . . . . . . . . . . . . 139 2.8 The real moment map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3 Etale Technology 159 3.1 Etale topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.2 Central simple algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.3 Spectral sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.4 Tsen and Tate fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.5 Coniveau spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 3.6 The Artin-Mumford exact sequence . . . . . . . . . . . . . . 186 3.7 Normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.8 Knop-Luna slices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3 4 4 Quiver Technology 213 4.1 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.2 Local structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4.3 Quiver orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4.4 Simple roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.5 Indecomposable roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.6 Canonical decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 4.7 General subrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.8 Semistable representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5 Semi-Simple Representations 291 5.1 Representation types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.2 Cayley-smooth locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.3 Reduction steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 5.4 Curves and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 5.5 Complex moment map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5.6 Preprojective algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.7 Central smooth locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 5.8 Central singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 6 Nilpotent Representations 365 6.1 Cornering matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 6.2 Optimal corners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 6.3 Hesselink stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.4 Cornering quiver representations . . . . . . . . . . . . . . . . 385 6.5 Simultaneous conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 6.6 Representation fibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 6.7 Brauer-Severi varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 6.8 Brauer-Severi fibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 7 Noncommutative Manifolds 427 7.1 Formal structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 7.2 Semi invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 7.3 Universal localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7.4 Compact manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.5 Differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 7.6 deRham cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.7 Symplectic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 7.8 Necklace Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8 Moduli Spaces 501 8.1 Moment maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 8.2 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.3 Deformed preprojective algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 514 8.4 Hilbert schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 5 8.5 Hyper K¿ahler structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 8.6 Calogero particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 8.7 Coadjoint orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 8.8 Adelic Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 References 555
Library of Congress Subject Headings for this publication:
Noncommutative differential geometry.
Cayley-Hamilton theorem.