Table of contents for Music and acoustics : from instrument to computer / Philippe Guillaume.

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Counter
Contents
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chapter 1. Sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Sound propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. A look at the physical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1.1. Mass conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1.2. The Euler equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1.3. The state equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. The wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3. The Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.4. Sound intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2. Music theory interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Intervals, octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Scientific pitch notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3. Dividing the octave into twelve semitones . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4. Diatonic scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4.1. Major scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4.2. Minor scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. Different types of sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1. Periodic sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1.1. Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2. Sounds with partials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3. Continuous spectrum sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4. Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4. Representation of sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1. Time or frequency analysis, discrete Fourier transform . . . . . . 35
1.4.2. Time-frequency analysis, the spectrogram . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.1. Discrete spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5
6 Music and Acoustics
1.5.1.1. Transfer function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1.2. Impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.2. Continuous spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3. Ideal low-pass, band-pass and all-pass filters . . . . . . . . . . . . 42
1.6. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.1. Normal reflection on a wall (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.2. Comb filtering using a microphone located near a wall (**) . . . 45
1.6.3. Summing intensities (***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.4. Intensity of a Standing Wave (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.5. Sound of a siren (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.1. First sound, vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.2. Modifying the parameters: the command file . . . . . . . . . . . . 48
1.7.3. Creating more complex sounds: using functions . . . . . . . . . . 48
1.7.3.1. Noise and siren interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.4. Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.4.1. Time analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.4.2. Frequency analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.4.3. Time-frequency analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.5. Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapter 2. Music Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1. Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1. Free vibrations of a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2. Beats, chords and consonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2. Bars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1. Bar fixed at both ends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.2. Bar embedded at one end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3. Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4. Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.1. Pressure control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.1.1. Response to a harmonic excitation . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.1.2. The resonance effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.1.3. Natural modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1.4. The resulting sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2. Speed control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2.1. Response to a harmonic excitation . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2.2. Resonance and natural modes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2.3. Comments on phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.3. Tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5. Timbre of instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1. Nature of the spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.1.1. Harmonics or partials, the piano's inharmonicity . . . . . . . 75
Table des matieres 7
2.5.1.2. Richness in higher harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1.3. Different harmonics distributions . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.1.4. The purpose of the resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.2. Envelope of the sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.2.1. Calculation of the envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.2.2. Using several envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.1. Vibrations of a string (general case) (**) . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.2. Plucked string (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.3. Bow drawn across a string (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6.4. String reduced to one degree of freedom (**) . . . . . . . . . . . . 84
2.6.5. Coupled string-bridge system and the remanence effect (***) . . 85
2.6.6. Calculation of the inharmonicity of a real string (***) . . . . . . . 87
2.6.7. Coincidence frequency of a wave in a board (***) . . . . . . . . . 89
2.6.8. Resonance of the bourdon (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6.9. Resonance of a cylindrical dual controlled tube (**) . . . . . . . . 91
2.6.10.Resonance of a conical tube (1) (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6.11.Resonance of a conical tube (2) (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1. Create your synthesizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1.1. Write your instrument function . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1.2. Add an envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.1.3. And play your instrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.2. Modify the timbre of your instrument . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.3. Remanent sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 3. Scales and Temperaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1. The Pythagorean scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2. The Zarlino scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3. The tempered scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1. Equal temperament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2. A historical temperament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.3. Equal temperament with perfect fifth . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.4. The practice of tuners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.5. The practice of musicians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. A brief history of A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5. Giving names to notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6. Other examples of scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.1. Frequencies of a few scales (***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.2. Beats of the fifths and the major thirds (*) . . . . . . . . . . . . . 105
3.8. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8.1. Building a few scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Music and Acoustics
3.8.2. Listening to beats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Chapter 4. Psychoacoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1. Sound intensity and loudness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1. The phon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2. The sone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2. The ear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3. Frequency and pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.1. The mel scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.2. Composed sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.2.1. Pitch of sounds composed of harmonics . . . . . . . . . . . 113
4.3.2.2. Pitch of sounds composed of partials . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.3. An acoustic illusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4. Frequency masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.1. Equal-loudness levels (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.2. Frequency masking (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.3. Perpetually ascending sound (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.1. Frequency masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2. Perpetually ascending scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapter 5. Digital Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1. Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.1. The Nyquist criterion and the Shannon theorem . . . . . . . . . . 122
5.1.1.1. Case of a sinusoidal signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.1.2. General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1.3. Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.1.4. Theoretical impossibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.1.5. What happens if the Nyquist criterion is not met? . . . . . . 125
5.1.2. Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2.1. Error due to quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. Reconstruction of the sound signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. Audio compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1. Psychoacoustic compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.2. Entropy compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3. Digital filtering and the Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1. Digital filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2. The Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2.2. Effect of a delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.2.3. Filtering and Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Contents 9
5.4.1. Nyquist criterion (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.2. Aliasing of an ascending sound (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3. Another example of reconstruction (***) . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.4. Elementary filter bank (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.1. Spectrum aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.2. Quantization noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chapter 6. Synthesis and Sound Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1. Synthesis of musical sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.1. Subtractive synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.2. Additive synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1.3. FM synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.1.4. Synthesis based on the use of sampled sounds . . . . . . . . . . . 147
6.2. Time effects: echo and reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1. Simple echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.2. Multiple echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.3. Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3.1. Using the impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.3.2. Using echos and all-pass filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3. Effects based on spectrum modification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.1. The ' Wah-wah ' effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.1.1. An example of a band-pass filter . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2. AM or FM type sound effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.2.1. Vibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3.2.2. Leslie effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4. Study problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4.1. The Doppler effect (**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4.2. FM and Chowning (***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5. Practical computer applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.1. Sound synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.2. Chowning synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.3. Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.4. Vibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.5. The Leslie effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

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Music -- Acoustics and physics.
Computer sound processing.